Question

【題目】設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù), .

（1）求的單調(diào)區(qū)間與極值；

（2）求證：當(dāng)且時(shí)， .

Answer 1

【答案】(1)在上減,在上增;當(dāng)時(shí),取極小值（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值的求法和不等式的證明，具體涉及到導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)增減區(qū)間的判斷、極值的計(jì)算和不等式性質(zhì)的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．第一問(wèn)，由， ，知， ．令，得．列表討論能求出的單調(diào)區(qū)間區(qū)間及極值；第二問(wèn)，設(shè)， ，于是， ．由第一問(wèn)知當(dāng)時(shí)， 最小值為，于是對(duì)任意，都有，所以在R內(nèi)單調(diào)遞增．由此能夠證明．

試題解析：∵， ，

∴， ．

令，得．

于是當(dāng)x變化時(shí)， ， 的變化情況如下表：

故的單調(diào)遞減區(qū)間是，

單調(diào)遞增區(qū)間是，

在處取得極小值，

極小值為，無(wú)極大值．

（2）證明：設(shè)， ，

于是， ．

由（1）知當(dāng)時(shí)，

最小值為．

于是對(duì)任意，都有，所以在R內(nèi)單調(diào)遞增．

于是當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，都有．

而，從而對(duì)任意， ．

即，

故．