Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）若函數在時取得極值，求實數的值；

（Ⅱ）當時，求零點的個數.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）兩個.

【解析】

（Ⅰ），由，解得，檢驗時取得極小值即可；（II）令，由，得，討論單調性得在時取得極小值，并證明極小值為.再由零點存在定理說明函數在和上各有一個零點，即可解得

（I）定義域為.

.

由已知，得，解得.

當時，.

所以.

所以減區間為，增區間為.

所以函數在時取得極小值，其極小值為，符合題意

所以.

（II）令，由，得.

所以.

所以減區間為，增區間為.

所以函數在時取得極小值，其極小值為.

因為，所以.

所以.所以.

因為，

又因為，所以.

所以.

根據零點存在定理，函數在上有且僅有一個零點.

因為，.

令，得.

又因為，所以.

所以當時，.

根據零點存在定理，函數在上有且僅有一個零點.

所以，當時，有兩個零點.