【題目】如圖（1），在矩形
中，已知
分別為
和
的中點，對角線
與
交于
點，沿把矩形
折起，使兩個半平面所成二面角為60°，如圖（2）.
（1）求證：
；
（2）求
與平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】
試題（1）依題意可知
，利用勾股定理分別求出
，再利用勾股定理證明三角形
是直角三角形，所以
；（2）過
作
，連接
，易證得
為
與平面所成的角，由此求得與平面所成角的正弦值為.
試題解析：
（1）證明 ：翻折前，由于
是矩形
的邊
和
的中點，所以
，折疊后垂直關系不變，所以
是兩個半平面所成二面角的平面角，所以
．
連接，由
，可知
是正三角形，所以
，
在
中，
，所以
，由題可知
，由勾股定理可知三角形是直角三角形，所以．
（2）設
分別是
的中點，連接
，又
，所以
，則
，
又
，所以
平面
．
又
，所以
，又
，所以
平面．又
平面，所以平面
平面．
過作，由面面垂直的性質定理，可得
平面，連接，則是在平面的投影，所以為與平面所成的角.
又
是
斜邊上的高，所以
，又
，所以
．
故與平面所成角的正弦值為．
提分百分百檢測卷單元期末測試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列關于等差數列和等比數列的敘述正確的是（ ）
A.若非常數列
為等差數列，則
也可能是等差數列
B.若非常數列為等比數列，則
不可能是等差數列
C.若數列的前n項和
，則數列可能是等差數列
D.若等差數列的前n項和
有最大值，則公差d可能大于零
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某超市為了解端午節期間粽子的銷售量，對其所在銷售范圍內的1000名消費者在端午節期間的粽子購買量（單位：g）進行了問卷調查，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求頻率分布直方圖中a的值；
（Ⅱ）求這1000名消費者的棕子購買量在600g～1400g的人數；
（Ⅲ）求這1000名消費者的人均粽子購買量（頻率分布直方圖中同一組的數據用該組區間的中點值作代表）．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知某射擊運動員，每次擊中目標的概率都是
.現采用隨機模擬的方法估計該運動員射擊
次至少擊中
次的概率：先由計算器算出
到
之間取整數值的隨機數，指定，
表示沒有擊中目標，
，，，
，
，
，
，表示擊中目標；因為射擊次，故以每個隨機數為一組，代表射擊次的結果.經隨機模擬產生了如下
組隨機數：
據此估計，該射擊運動員射擊次至少擊中次的概率為（ ）
A. 
B. 
C. D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某超市隨機選取
位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統計表，其中“√”表示購買，“×”表示未購買．
| 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
| √ | × | √ | √ |
| × | √ | × | √ |
| √ | √ | √ | × |
| √ | × | √ | × |
85 | √ | × | × | × |
| × | √ | × | × |
（Ⅰ）估計顧客同時購買乙和丙的概率；
（Ⅱ）估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買
中商品的概率；
（Ⅲ）如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買乙、丙、丁中那種商品的可能性最大？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖是我國2012年至2018年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖．注：年份代碼1～7分別對應年份2012～2018.
（1）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合
與
的關系，請用相關系數加以說明；
（2）建立關于的回歸方程（系數精確到0.01），預測2020年我國生活垃圾無害化處理量．
參考數據：
，
，
，
.
參考公式：相關系數
，回歸方程
中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為
.
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