Question

【題目】已知函數

（1）若，求證：

（2）若，恒有，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）（﹣∞，0]

【解析】

（1）利用導數求x＜0時，f（x）的極大值為，即證（2）等價于k≤，x＞0，令g（x）＝，x＞0，再求函數g(x)的最小值得解.

（1）∵函數f（x）＝x2e3x，∴f′（x）＝2xe3x+3x2e3x＝x（3x+2）e3x．

由f′（x）＞0，得x＜﹣或x＞0；由f′（x）＜0，得，

∴f（x）在（﹣∞，﹣）內遞增，在（﹣，0）內遞減，在（0，+∞）內遞增，

∴f（x）的極大值為，

∴當x＜0時，f（x）≤

（2）∵x2e3x≥（k+3）x+2lnx+1，∴k≤，x＞0，

令g（x）＝，x＞0，則g′（x），

令h（x）＝x2（1+3x）e3x+2lnx﹣1，則h（x）在（0，+∞）上單調遞增，

且x→0+時，h（x）→﹣∞，h（1）＝4e3﹣1＞0，

∴存在x0∈（0，1），使得h（x0）＝0，

∴當x∈（0，x0）時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，

當x∈（x0，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增，

∴g（x）在（0，+∞）上的最小值是g（x0）＝，

∵h（x0）＝+2lnx0﹣1=0，所以，

令，

令

所以=1，,

∴g（x0）

∴實數k的取值范圍是（﹣∞，0]．