Question

【題目】已知點和橢圓. 直線與橢圓交于不同的兩點.

(Ⅰ) 求橢圓的離心率；

(Ⅱ) 當時，求的面積；

（Ⅲ）設直線與橢圓的另一個交點為，當為中點時，求的值 .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）4（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）利用已知條件求出a，c，然后求解橢圓的離心率即可；

（Ⅱ）設P（x1，y1），Q（x2，y2），直線l的方程為，與橢圓聯立，求出坐標，然后求解三角形的面積；

（Ⅲ）法一：設點C（x3，y3），P（x1，y1），B（0，﹣2），結合橢圓方程求出P（x1，y1），然后求解斜率．

法二：設C（x3，y3），顯然直線PB有斜率，設直線PB的方程為y＝k1x﹣2，與橢圓聯立，利用韋達定理求出P的坐標，求解斜率即可．

（Ⅰ）因為，所以

所以離心率

（Ⅱ）設

若，則直線的方程為

由，得

解得

設，則

（Ⅲ）法一：

設點，

因為，，所以

又點，都在橢圓上，

所以

解得或

所以 或

法二：

設

顯然直線有斜率，設直線的方程為

由， 得

所以

又

解得 或

所以 或

所以或