【題目】
如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.
（1）證明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】
（1）利用長方體的性質，可以知道
側面
，利用線面垂直的性質可以證明出
，這樣可以利用線面垂直的判定定理，證明出
平面
；
（2）以點
坐標原點，以
分別為
軸，建立空間直角坐標系，
設正方形
的邊長為
，
，求出相應點的坐標，利用
，可以求出
之間的關系，分別求出平面
、平面
的法向量，利用空間向量的數量積公式求出二面角
的余弦值的絕對值，最后利用同角的三角函數關系，求出二面角的正弦值.
證明（1）因為
是長方體，所以側面，而
平面，所以
又，
，
平面，因此平面；
（2）以點坐標原點，以分別為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標系，
，
因為，所以
，
所以
，
，
設
是平面
的法向量，
所以
，
設
是平面的法向量，
所以
，
二面角的余弦值的絕對值為
，
所以二面角的正弦值為
.
輕松課堂單元期中期末專題沖刺100分系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的點，PO垂直于圓O所在的平面，且
.D為線段AC的中點.
(1)求證：平面
平面
；
(2)若點E在線段PB上，且
，求三棱錐
體積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
，其中
．點
在
的焦點
的右側，且
到的準線的距離是與距離的3倍．經過點的直線與拋物線交于不同的
兩點，直線
與直線
交于點
，經過點
且與直線垂直的直線
交
軸于點
.
（1）求拋物線的方程和的坐標；
（2）判斷直線
與直線
的位置關系，并說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】
是空氣質量的一個重要指標，我國標準采用世衛組織設定的最寬限值，即日均值在
以下空氣質量為一級，在
之間空氣質量為二級，在
以上空氣質量為超標.如圖是某地
月
日到
日日均值（單位：
）的統計數據，則下列敘述不正確的是（ ）
A.從
日到
日，日均值逐漸降低
B.這天的日均值的中位數是
C.這天中日均值的平均數是
D.從這天的日均監測數據中隨機抽出一天的數據，空氣質量為一級的概率是
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】
年
月，電影《毒液》在中國上映，為了了解江西觀眾的滿意度，某影院隨機調查了本市觀看影片的觀眾，現從調查人群中隨機抽取部分觀眾.并用如圖所示的表格記錄了他們的滿意度分數（
分制），若分數不低于
分，則稱該觀眾為“滿意觀眾”，請根據下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表（如圖所示），解決下列問題.
組別 | 分組 | 頻數 | 頻率 |
第 |
|
|
|
第 |
|
|
|
第 |
|
|
|
第 |
|
|
|
第 |
|
|
|
合計 |
|
|
（1）寫出
、
的值；
（2）畫出頻率分布直方圖，估算中位數；
（3）在選取的樣本中，從滿意觀眾中隨機抽取
名觀眾領取獎品，求所抽取的名觀眾中至少有
名觀眾來自第
組的概率.
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