Question

【題目】在幾何體中，底面為菱形，，與相交于點，四邊形為直角梯形，，面面.

（1）證明：面面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）由底面為菱形，可得，結合面面垂直的性質可得平面，從而得到，又，得到平面,利用勾股定理證得，由線面垂直的判定定理證得平面，利用面面垂直的判定定理證得平面平面；

（2）取EF中點G,由題意可知,，則平面，分別以OA,OB,OG所在直線為軸建立空間直角坐標系，分別求出平面AFC與平面AEC的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值.

（1）因為底面為菱形，所以，

又平面底面，平面平面，

因此平面，從而.

又，所以平面,

由，

可知，

從而，故，

又，所以平面.

又平面，所以平面平面.

（2）取中點，由題可知，所以平面，

又在菱形中，，

分別以的方向為軸正方向建立空間直角坐標系（如圖示），

則.

所以，

，

.

由（1）可知平面，所以平面的法向量可取為，

設平面的法向量為，則，

即，

即，

令，得，所以.

從而.由圖可知，所求二面角的大小為銳角，

故所求的二面角的余弦值為.