Question

【題目】設數列滿足 (且)， .

(1)求證： 是等比數列，并求出數列的通項公式；

(2)對任意的正整數，當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

(3)求證： .

Answer 1

【答案】(1) ， ;(2) ;(3) 見解析;

【解析】試題分析：(1)由可得，所以是首項為，公比為3的等比數列，進而可求得

(2)由題可轉化為，即，對任意恒成立，再看成關于m的一次函數，需，解得

的取值范圍為.

(3)由(1)知，利用當時， ，對進行放縮可得

.

試題解析：(1)解：由 (且)得 (且)

∵，∴，∴，(且)

∴是首項為3，公比為3的等比數列.

∴.

∴， .

(2)要使對任意的正整數，當時，不等式恒成立，

則須使，

即，對任意恒成立，

∴，解得或，

∴實數的取值范圍為.

(3)證明：由(1)知，當時， ，

∴，

所以.