Question

在平面直角坐標系中，已知向量，，|的最小值為1，）（a為常數，且a＞c，t∈R）．動點P同時滿足下列三個條件：
（1）•；
（2）動點P的軌跡C經過點B（0，-1）．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）是否存在方向向量為m=（1，k）（k≠0）的直線l，l與曲線C相交于M、N兩點，使|60°？若存在，求出k值，并寫出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）將|的長度用G的坐標表示成關于x的二次函數，通過求二次函數的最小值求出c的值．利用已知條件及唾液的第二定義判斷出曲線C為橢圓，寫出橢圓的方程．
（II）將直線方程與橢圓方程聯立，消去y得到關于x的二次方程，利用韋達定理，將轉化為B在MN的中垂線上得到
m=，根據已知得到△BMN為等邊三角形，得到點B到直線MN的距離d與|MN|的關系，利用點到直線的距離公式及弦長公式求出d與|MN|，列出方程求出k的值．
解答：解（1）∵|，
∴

由．
由（1）、（2）可知點P到直線x=，再由橢圓的第二定義可知，點P的軌跡是橢圓，
橢圓C的方程為：．
由（3）可知b=1，
∴a²=b²+c²=1+2=3．
∴橢圓C的方程為．
（2）設直線l的方程為：y=kx+m，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
x₁+x₂=
△=36k²m²-12（m²-1）（1+3k²）=12[3k²-m²+1]＞0    ①
線段MN的中點G（x，y），
x=，
線段MN的垂直平分線的方程為：y-
∵|，
∴線段MN的垂直平分線過B（0，-1）點，
∴-1-，
∴m=②
②代入①，得3k²-（．③
∵|°，
∴△BMN為等邊三角形，
∴點B到直線MN的距離d=
|MN|=
=
∴，
解得k²=③式．代入②，得m=．
直線l的方程為：y=
點評：解決直線與圓錐曲線的相交的有關問題，一般的思路是將直線與圓錐曲線方程聯立，得到關于應該未知數的方程，利用韋達定理來解決．