Question

若a＞b＞c，則使不等式

1

a-b

+

1

b-c

+

k

c-a

＞0恒成立的實數k的取值范圍是（　　）

• A、（-∞，1]
• B、（-∞，1）
• C、（-∞，4]
• D、（-∞，4）

Answer 1

分析：欲求不等式

1

a-b

+

1

b-c

+

k

c-a

＞0恒成立的實數k的取值范圍，只需將k分離，然后利用基本不等式求出另一側的最值，從而可求出所求．

解答：解：∵a＞b＞c，則使不等式

1

a-b

+

1

b-c

+

k

c-a

＞0恒成立，
∴

k

a-c

＜

1

a-b

+

1

b-c

即k＜(a-c)(

1

a-b

+

1

b-c

)=[(a-b)+(b-c)]×(

1

a-b

+

1

b-c

)，
∵a＞b＞c，
∴a-b＞0，b-c＞0，
∴[(a-b)+(b-c)]×(

1

a-b

+

1

b-c

)=2+

b-c

a-b

+

a-b

b-c

≥2+2

b-c a-b × a-b b-c

=4，
當且僅當

b-c

a-b

=

a-b

b-c

，即a+c=2b時取等號，
∴k＜4，即實數k的取值范圍是（-∞，4）．
故選：D．

點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用，運用基本不等式求最值值，要注意等號成立的條件是“一正，二定，三相等”，以及恒成立求出參數問題，常常利用參變量分離法進行求解，同時考查了分析問題的能力和轉化的思想，屬于中檔題．