Question

【題目】已知函數().

（1）若,求函數的單調區間;

（2）當時,若函數在上的最大值和最小值的和為1,求實數的值.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析.（2）

【解析】

（1）利用的導函數，求得的單調區間.

（2）利用的導函數，求得的單調區間，對分成，，三種情況進行分類討論，結合在區間上最大值和最小的和為，求得實數的值.

（1）當a=3時,f(x)=2x3﹣3x2+1,x∈R,

∴f'(x)=6x2﹣6x=6x(x﹣1),

令f'(x)>0得,x<0或x>1;令f'(x)<0得,0<x<1,

∴函數f(x)的的單調增區間為(﹣∞,0)和(1,+∞),單調遞減區間為(0,1),

（2）函數f(x)=2x3﹣ax2+1,a>0,

∴f'(x)=6x2﹣2ax=2x(3x﹣a),

令f'(x)=0得,x=0或,

列表:

x	(﹣∞,0)	0	(0,)		(,+∞)
f'(x)	+	0	﹣	0	+
f(x)	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

①當0<a≤2時,0,

∴函數f(x)在[﹣1,0]上單調遞增,在[0,]上單調遞減,在[,1]上單調遞增,

又∵f(﹣1)=﹣1﹣a,f(0)=1,f（1）=3﹣a≥1,f()=1,且0<f()<1,

∴f(x)max=f（1）=3﹣a,f(x)min=f(﹣1)=﹣1﹣a,

∴(3﹣a)+(﹣1﹣a)=1,

∴a,

②當2<a<3時,0,

∴函數f(x)在[﹣1,0]上單調遞增,在[0,]上單調遞減,在[,1]上單調遞增,

又∵f(﹣1)=﹣1﹣a,f(0)=1,f（1）=3﹣a,f()=1,且0<f()<1,0<f（1）<1,

∴f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(﹣1)=﹣1﹣a,

∴1+(﹣1﹣a)=1,

∴a=﹣1,不符合題意,舍去,

③當a≥3時,,

∴函數f(x)在[﹣1,0]上單調遞增,在[0,1]上單調遞減,

∴f(x)max=f(0)=1,

又∵f(﹣1)=﹣1﹣a,f（1）=3﹣a,∴f(x)min=f(﹣1)=﹣1﹣a,

∴1+(﹣1﹣a)=1,

∴a=﹣1,不符合題意,舍去,

綜上所述,若函數f(x)在[﹣1,1]上的最大值和最小值的和為1,實數a的值為.