Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A=AB=2，若棱AB上存在一點P，使得D₁P⊥PC，則棱AD的長的取值范圍是（　　）

• A．[1，

  2

  ]
• B．(0，

  2

  ]
• C．(0，

  2

  )
• D．（0，1]

Answer 1

分析：如圖所示，假設棱AB上存在一點P，使得D₁P⊥PC，連接DP，由DD₁⊥底面ABCD，則必有CP⊥DP，因此只要以DC為直徑的圓與線段AB有交點即可．

解答：解：如圖所示，當0＜AD≤1時，以DC=2為直徑的圓與AB 有交點P，連接CP，DP，則CP⊥DP．
∵DD₁⊥底面ABCD，根據三垂線定理，則CP⊥D₁P，滿足題意．
故選D．

點評：掌握三垂線定理及理解直徑所對的圓周角是直角是解題的關鍵．