Question

【題目】設函數的導函數為.若不等式對任意實數x恒成立，則稱函數是“超導函數”.

（1）請舉一個“超導函數” 的例子，并加以證明；

（2）若函數與都是“超導函數”，且其中一個在R上單調遞增，另一個在R上單調遞減，求證：函數是“超導函數”；

（3）若函數是“超導函數”且方程無實根，（e為自然對數的底數），判斷方程的實數根的個數并說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析.

(2)見解析.

(3)見解析.

【解析】分析：（1）根據定義舉任何常數都可以；（2）∵，∴，即證-在R上成立即可；（3）構造函數，因為是“超導函數”， ∴對任意實數恒成立，而方程無實根，故恒成立，所以在上單調遞減， 故方程等價于，即，

設 ，分析函數單調性結合零點定理即可得出結論.

詳解：

（1）舉例：函數是“超導函數”，

因為，，滿足對任意實數恒成立，故是“超導函數”.

注：答案不唯一，必須有證明過程才能給分，無證明過程的不給分.

（2）∵，∴，

∴

因為函數與都是“超導函數”，所以不等式與對任意實數都恒成立，故，，①

而與一個在上單調遞增，另一個在上單調遞減，故，②

由①②得對任意實數都恒成立，所以函數是“超導函數”.

（3）∵，所以方程可化為，

設函數，，則原方程即為，③

因為是“超導函數”， ∴對任意實數成立，

而方程無實根，故恒成立，所以在上單調遞減，

故方程③等價于，即，

設 ，，則在上恒成立，

故在上單調遞增，

而，，且函數的圖象在上連續不斷，

故 在上有且僅有一個零點，從而原方程有且僅有唯一實數根.