Question

已知A、B、C分別是△ABC的三個內角，且cosA•cos（A-B）=cosB．
（1）求證：△ABC是等腰三角形；
（2）若tanA=2，求tanC的值．

Answer 1

（1）由已知，得cosA（cosAcosB+sinAsinB）=cosB，
即（1-cos²A）cosB=sinAcosAsinB，
亦即sin²AcosB=sinAcosAsinB．
因為sinA＞0，所以sinAcosB=cosAsinB，
于是sin（A-B）=0．
又-π＜A-B＜π，從而A=B．
故△ABC是等腰三角形．
（2）在△ABC中，有C=π-（A+B）=π-2A，
所以tanC=tan（π-2A）=-tan2A．
由tanA=2得tan2A=

2tanA

1-tan2A

=-

4

3

所以tanC的值為

4

3

．