Question

【題目】如果數列對任意的滿足：，則稱數列為“數列”.

（1）已知數列是“數列”，設，求證：數列是遞增數列，并指出與的大小關系（不需要證明）；

（2）已知數列是首項為，公差為的等差數列，是其前項的和，若數列是“數列”，求的取值范圍；

（3）已知數列是各項均為正數的“數列”，對于取相同的正整數時，比較和的大小，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（3），證明見解析.

【解析】

（1）由新定義，結合單調性的定義可得數列是遞增數列；再根據，，可得；

（2）運用新定義和等差數列的求和公式，解絕對值不等式即可得到所求范圍；

（3）對一切，有．運用數學歸納法證明，注意驗證成立；假設不等式成立，注意變形和運用新定義，即可得證．

（1）證明：數列是“數列”，可得，

即，即，

可得數列是遞增數列，

.

（2）數列是“數列”，

可得，

即，

可得，

即有，或，或，

即或或，

所以.

（3）數列是各項均為正數的“數列”，

對于取相同的正整數時，，

運用數學歸納法證明：

當時，，，顯然即．

設時，．即，

可得，

當時，即證，

即證，

由

，

即證

即證，

由，，，，

相加可得，

則對一切，有．