Question

（2009•天門模擬）已知命題：
①函數f（x）=

1

lgx

在（0，+∞）上是減函數；
②已知

a

=（3，4），

b

=（0，-1），則

a

在

b

方向上的投影為-4；
③函數f（x）=2sinxcos|x|的最小正周期為π；
④函數f（x）的定義域為R，則f（x）是奇函數的充要條件是f（0）=0；
⑤在平面上，到定點（2，1）的距離與到定直線3x+4y-10的距離相等的點的軌跡是拋物線．
其中，正確命題的序號是

②③

．（寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

分析：①利用復合函數的單調性和對數函數的性質進行判斷．②利用向量投影的概念判斷．③利用三角函數的周期性判斷．
④利用函數奇偶性的定義和性質判斷．⑤利用拋物線的定義判斷．

解答：解：①當x=1時，lgx=0，此時函數f（x）無意義，所以①錯誤．
②向量

a

在

b

方向上的投影為

a ? b

| b |

=-4，所以②正確．
③因為y=cos|x|=cosx，所以f（x）=2sinxcos|x|=2sinxcosx=sin2x，所以函數的周期T=

2π

2

=π，所以③正確．
④若f（x）是奇函數，則f（-x）=-f（x），所以當x=0時，f（-0）=-f（0），所以f（0）=0．但若f（0）=0，則f（x）不一定是奇函數，
比如f（x）=x²，滿足f（0）=0，但函數f（x）=x²，是偶函數，所以④錯誤．
⑤因為點（2，1）在直線3x+4y-10=0上，所以所求的軌跡不是拋物線，所以⑤錯誤．
故答案為：②③．

點評：本題主要考查了各種命題的真假判斷，綜合性較強．