Question

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最值；

（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，都有恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為和，減區(qū)間為；當(dāng)，增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為和，減區(qū)間為； （Ⅲ）1.

【解析】

（Ⅰ）表示此時(shí)的，對(duì)其求導(dǎo)分析單調(diào)性，分別計(jì)算端點(diǎn)值與極大（小）值，比較其中最大的為最大值，最小的為最小值；

（Ⅱ）求導(dǎo)，利用分類討論最高次項(xiàng)是否為零，并因式分解表示的兩根，再利用分類討論兩根的大小，進(jìn)而判定單調(diào)性；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，求得此時(shí)的最大值；當(dāng)時(shí)，利用二次函數(shù)定區(qū)間動(dòng)軸問(wèn)題的討論方式，求得此時(shí)的最大值；由恒成立即求得的最小值.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，有，則，則

	+	0	-	0	+
	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

因?yàn)?/span>，，，

所以，

（Ⅱ）由題可知，

當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為

當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為和，減區(qū)間為

當(dāng)，的增區(qū)間為

當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為和，減區(qū)間為

（Ⅲ）①當(dāng)時(shí)，在上的最大值為1

②當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸為，

若即時(shí)，

而，所以

若即時(shí)，

由，，所以

綜上所述，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，

因?yàn)?/span>恒成立，所以

故的最小值為1

法2：解：，由題得：

，對(duì)于，以及恒成立.

①首先必須

對(duì)恒成立，對(duì)恒成立

，于是必須

②其次，再證明合乎題意.

要證，即證

事實(shí)上，，，

另外

兩式相乘立即知道（A）成立.綜合（1），（2）得的最小值為1