Question

【題目】已知函數.

（1）解關于的不等式：；

（2）當時，過點是否存在函數圖象的切線？若存在，有多少條？若不存在,說明理由；

（3）若是使恒成立的最小值，試比較與的大小（）.

Answer 1

【答案】（1）當時，；當時，；（2）不存在，理由見解析；（3）.

【解析】

（1）當時，時，；當時，時，，解之即可；

（2）由題意可得，切線斜率為，設，求導可得在上遞減，上遞增，故，所以方程無解，問題得解；

（3）由整理，得，在上單調遞增，最小值1，所以，即，故，，令，可得，即可得出.

（1）由已知，得

當時，的定義域為；當時，的定義域為

①當時，，原不等式等價于：

，

解得；

②當時，，原不等式等價于：

，

解得.

（2）當時，，

設上的切點坐標為，顯然，

求導，得，故切線斜率

由題意，得，即

設，則，

在上單調遞減；在上單調遞增，

所以沒有實根，故不存在切線.

（3）由整理，得

由（2）可知，在上單調遞增，

所以當時取得最小值1，

由題意可得，即，故，

.

令，則，

而，即，

，

.