Question

【題目】設(shè)為三次函數(shù)，且其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，當(dāng)時(shí)，的極小值為-1，則

（1）函數(shù)的解析式__________；

（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為___________。

Answer 1

【答案】（1） （2）和

【解析】

（1）先利用待定系數(shù)法設(shè)出f（x）的解析式，再根據(jù)奇偶性以及極值建立等式關(guān)系，求出參數(shù)即可；
（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的單調(diào)遞增

（1）設(shè)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）
∵其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即f（-x）=-f（x）
得-ax3+bx2-cx+d=-ax3-bx2-cx-d
∴b=d=0，
則有f（x）=ax3+cx
由f′（x）=3ax2+c，依題意得

∴
由①②得a=4，c=-3故所求的解析式為：f（x）=4x3-3x．

（2）由（1）可得f（x）=4x3-3x．則令f′（x）=12x2-3＞0
解得： 或 ，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和.

即答案為(1). (2). 和.