Question

【題目】設函數f（x）=loga（x﹣3a）（a＞0且a≠1），當點P（x，y）是函數y=f（x）圖象上的點時，點
Q（x﹣2a，﹣y）是函數y=g（x）圖象上的點．
（1）寫出函數y=g（x）的解析式；
（2）若當x∈[a+2，a+3]時，恒有|f（x）﹣g（x）|≤1，試確定a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意，

y=f（x）=loga（x﹣3a），

﹣y=g（x﹣2a），

則g（x﹣2a）=﹣loga（x﹣3a），

令t=x﹣2a，

則g（t）=﹣loga（t﹣a），

則g（x）=﹣loga（x﹣a）

（2）

解：∵f（x）與g（x）的定義域的交集為（3a，+∞），

∴[a+2，a+3]（3a，+∞）

∴a+2＞3a＞0，

∴0＜a＜1，

∴|f（x）﹣g（x）|≤1可化為a≤x2﹣4ax+3a2≤ ，

又∵x∈[a+2，a+3]時，x2﹣4ax+3a2=（x﹣2a）2﹣a2∈[4﹣4a，9﹣6a]

∴ ，

∴0＜a≤

【解析】（1）由題意，y=f（x）=loga（x﹣3a），﹣y=g（x﹣2a）；則g（x﹣2a）=﹣loga（x﹣3a），利用換元法求函數解析式；（2）先由f（x）與g（x）的定義域的交集為（3a，+∞）可知0＜a＜1，進而化簡|f（x）﹣g（x）|≤1為a≤x2﹣4ax+3a2≤ ，從而求a．
【考點精析】關于本題考查的對數函數的定義域，需要了解對數函數的定義域范圍:（0，+∞）才能得出正確答案．