Question

【題目】已知函數.

(1)若，求函數在點處的切線方程；

(2)討論的單調性；

(3)若函數在上無零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) (2) 當時， 在上單調遞減；當時， 在上單調遞增，在上單調遞減（3）

【解析】試題分析：(1) 求得,求出的值可得切點坐標，求出的值，可得切線斜率，利用點斜式可得曲線在點處的切線方程；(2)分時， 時兩種情況討論，求出，分別令求得的范圍，可得函數增區間， 求得的范圍，可得函數的減區間；（3）時， 時， 時，分別求出，令即可得到的取值范圍.

試題解析：(1) 時， ，

∴，故切點為.

又，∴，

故切線方程為，即.

(2) ，

當時， ，此時在上單調遞減；

當時，令得， (舍)，

當時， ；當時， ，即在上單調遞增，在上單調遞減.

綜上所述：當時， 在上單調遞減；當時， 在上單調遞增，在上單調遞減.

（3）由(2)知：當時， 在上單調遞減， ，

此時在上無零點；

當時， 在上單調遞增，在上單調遞減，

，解得.

∴，此時在上無零點；

當時， 在上單調遞增， ，無解.

綜上所述， .

【方法點晴】本題主要考查利用導數求曲線切線方程以及利用導數研究函數的單調性與零點，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導數，即在點 出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在 處導數不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.