Question

【題目】已知數列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1．
（1）證明{an+ }是等比數列，并求{an}的通項公式；
（2）證明： + +…+ ＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）證明： =3，

∵ ≠0，

∴數列{an+ }是以首項為 ，公比為3的等比數列；

∴an+ = = ，即 ；

（2）證明：由（1）知 ，

當n≥2時，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，∴ ＜ = ，

∴當n=1時， 成立，

當n≥2時， + +…+ ＜1+ …+ = = ＜ ．

∴對n∈N+時， + +…+ ＜ ．

【解析】（1）根據等比數列的定義，后一項與前一項的比是常數，即 =常數，又首項不為0，所以為等比數列；再根據等比數列的通項化式，求出{an}的通項公式；（2）將 進行放大，即將分母縮小，使得構成一個等比數列，從而求和，證明不等式．
【考點精析】認真審題，首先需要了解數列的前n項和(數列{an}的前n項和sn與通項an的關系)，還要掌握等比數列的基本性質({an}為等比數列，則下標成等差數列的對應項成等比數列;{an}既是等差數列又是等比數列== {an}是各項不為零的常數列)的相關知識才是答題的關鍵．