Question

【題目】設函數f（x）=x2+aln（x+1）．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若函數F（x）=f（x）+ln 有兩個極值點x1 ， x2且x1＜x2 ， 求證F（x2）＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）的定義域為（﹣1，+∞），

= ，（x＞﹣1），

令g（x）=2x2+2x+a，則△=4﹣8a．

①當△＜0，即a> 時，g（x）＞0，從而f′（x）＞0，

故函數f（x）在（﹣1，+∞）上單調遞增；

②當△=0，即a= 時，g（x）≥0，此時f′（x）≥0，此時f′（x）在f′（x）=0的左右兩側不變號，

故函數f（x）在（﹣1，0）上單調遞增；

③當△＞0，即a＜ 時，g（x）=0的兩個根為 ， ，

當 ，即a≤0時，x1≤﹣1，當0＜a＜ 時，x1＞﹣1．

故當a≤0時，函數f（x）在（﹣1， ）單調遞減，在（ ，+∞）單調遞增；

當0＜a＜ 時，函數f（x）在（﹣1， ），（ ，+∞）單調遞增，

在（ ， ）單調遞減．

（2）解：∵F（x）=f（x）+ln ，∴F′（x）=f′（x），

∴當函數F（x）有兩個極值點時0＜a＜ ，0＜ ＜1，

故此時x2= ∈（﹣ ，0），且g（x2）=0，即a=﹣（2 +2x2），

∴F（x2）= +aln（1+x2）+ln

= ﹣（ ）ln（1+x2）+ln ，

設h（x）=x2﹣（2x2+2x）ln（1+x）+ln ，其中﹣ ，

則h′（x）=2x﹣2（2x+1）ln（1+x）﹣2x=﹣2（2x+1）ln（1+x），

由于﹣ 時，h′（x）＞0，

故函數h（x）在（﹣ ，0）上單調遞增，

故h（x）．h（﹣ ）= ．

∴F（x2）=h（x2）＞ ．

【解析】（1）由函數f（x）的定義域為（﹣1，+∞）， = ，令g（x）=2x2+2x+a，則△=4﹣8a．由根的判斷式進行分類討論，能求出函數f（x）的單調區間．（2）由F′（x）=f′（x），知函數F（x）有兩個極值點時，0＜a＜ ，0＜ ＜1，由此推導出x2= ∈（﹣ ，0），且g（x2）=0，即a=﹣（2 +2x2），F（x2）= ﹣（ ）ln（1+x2）+ln ，構造函數h（x）=x2﹣（2x2+2x）ln（1+x）+ln ，能夠證明F（x2）＞ ．