【題目】在平面直角坐標系
中，已知橢圓
短軸的兩個頂點與右焦點的連線構成等邊三角形，兩準線之間的距離為
.
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）直線
與橢圓交于
，
兩點，設直線
，
的斜率分別為
，
.已知
.
①求
的值；
②當
的面積最大時，求直線
的方程.
【答案】（1）
；（2）①
；②
.
【解析】
（1）設橢圓的焦距為
，則
.利用短軸的兩個頂點與右焦點的連線構成等邊三角形，求出
，
，然后求解橢圓
的標準方程.
（2）①設
，
，
，
，聯立
利用韋達定理，通過直線的斜率求解即可；②由①得，直線
的方程為
，然后求解弦長，點到直線的距離，求解三角形的面積，然后求解即可.
解：（1）設橢圓的焦距為，則.
因為短軸的兩個頂點與右焦點的連線構成等邊三角形，
所以
.
又兩準線間的距離為
，則
，
所以
，
，
所以橢圓的標準方程為.
（2）①設，，，，
聯立消去
得
，
，化簡得
，
所以
，
，
又
的斜率
，
的斜率
，
所以
，
化簡得
，
所以
.又因為
，即
，
又
，所以.
②由①得，直線的方程為，
且
，
，
.
又，所以
.
所以
，
點
到直線的距離
，
所以
，
當且僅當
，即
時，
的面積最大，
所以，直線的方程為.
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【題目】過橢圓
的左頂點
作斜率為2的直線，與橢圓的另一個交點為
，與
軸的交點為
，已知
.
（1）求橢圓的離心率；
（2）設動直線
與橢圓有且只有一個公共點
，且與直線
相交于點
，若
軸上存在一定點
，使得
，求橢圓的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
： 
的離心率為
，以原點
為圓心，橢圓
的長半軸為半徑的圓與直線
相切.
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）已知點
， 
為動直線
與橢圓
的兩個交點，問：在
軸上是否存在點
，使
為定值？若存在，試求出點
的坐標和定值，若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】稠環芳香烴化合物中有不少是致癌物質，比如學生鐘愛的快餐油炸食品中會產生苯并芘，它是由一個苯環和一個芘分子結合而成的稠環芳香烴類化合物，長期食用會致癌.下面是一組稠環芳香烴的結構簡式和分子式：
名稱 | 萘 | 蒽 | 并四苯 | … | 并n苯 |
結構簡式 |
|
|
| … | … |
分子式 |
|
|
| … | … |
由此推斷并十苯的分子式為________.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數），以原點
為極點，
軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
．
（1）求直線與曲線的普通方程；
（2）若直線與曲線交于
、
兩點，點
，求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一款小游戲的規則如下：每輪游戲要進行三次，每次游戲都需要從裝有大小相同的2個紅球，3個白球的袋中隨機摸出2個球，若摸出的“兩個都是紅球”出現3次獲得200分，若摸出“兩個都是紅球”出現1次或2次獲得20分，若摸出“兩個都是紅球”出現0次則扣除10分（即獲得
分）．
（1）設每輪游戲中出現“摸出兩個都是紅球”的次數為
，求的分布列；
（2）玩過這款游戲的許多人發現，若干輪游戲后，與最初的分數相比，分數沒有增加反而減少了，請運用概率統計的相關知識分析解釋上述現象．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】公元五世紀，數學家祖沖之估計圓周率
的值的范圍是：
，為紀念數學家祖沖之在圓周率研究上的成就，某教師在講授概率內容時要求學生從小數點后的6位數字1，4，1，5，9，2中隨機選取兩個數字做為小數點后的前兩位（整數部分3不變），那么得到的數字大于3.14的概率為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數），以原點
為極點，
軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
．
（1）求直線與曲線的普通方程；
（2）若直線與曲線交于
、
兩點，點
，求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】噪聲污染已經成為影響人們身體健康和生活質量的嚴重問題，為了了解聲音強度
（單位：分貝）與聲音能量（單位：
）之間的關系，將測量得到的聲音強度
和聲音能量
（
=1，2…，10）數據作了初步處理，得到如圖散點圖及一些統計量的值.
|
|
|
|
|
| 45.7 |
|
| 0.51 |
|
| |||
| 5.1 | |||
表中
，
．
（1）根據散點圖判斷，
與
哪一個適宜作為聲音強度關于聲音能量的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
（2）根據表中數據，求聲音強度關于聲音能量的回歸方程；
（3）當聲音強度大于60分貝時屬于噪音，會產生噪音污染，城市中某點
共受到兩個聲源的影響，這兩個聲源的聲音能量分別是
和
，且
.己知點的聲音能量等于聲音能量與之和．請根據（1）中的回歸方程，判斷點是否受到噪音污染的干擾，并說明理由．
附：對于一組數據
.其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為：
.
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