Question

已知函數f(x)＝x²＋ (x≠0)．
(1)判斷f(x)的奇偶性，并說明理由；
(2)若f(1)＝2，試判斷f(x)在[2，＋∞)上的單調性

Answer 1

(1)函數f(x)既不是奇函數也不是偶函數．(2) f(x)在[2，＋∞)上是單調遞增函數．

試題分析：(1)當a＝0時，f(x)＝x²，f(－x)＝f(x)，函數是偶函數．   3分
當a≠0時，f(x)＝x²＋x≠0，常數a∈R)，                 5分
取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0；
f(－1)－f(1)＝－2a≠0，
∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．
∴函數f(x)既不是奇函數也不是偶函數．               6分
(2)若f(1)＝2，即1＋a＝2，解得a＝1，這時f(x)＝x²＋.
任取x₁，x₂∈[2，＋∞)，且x₁<x₂，
則f(x₁)－f(x₂)＝(x₁²＋)－(x₂²＋)
＝(x₁＋x₂)(x₁－x₂)＋
＝(x₁－x₂)(x₁＋x₂－)．
由于x₁≥2，x₂≥2，且x₁<x₂，
∴x₁－x₂<0，x₁＋x₂>，所以f(x₁)<f(x₂)，
故f(x)在[2，＋∞)上是單調遞增函數．                 12分
點評：解決函數的性質問題的關鍵是掌握函數性質的概念，另還要掌握常見的判斷方法。