Question

【題目】如圖所示的幾何體中，是菱形，，平面，，.

（1）求證：平面平面；

（2）求平面與平面構成的二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取中點，連結，設交于，連結，，先證明，

，可證得平面，又，故平面，即得證.

（2）如圖所示的空間直角坐標系，求解平面與平面的法向量，利用二面角的向量公式即得解.

（1）證明：取中點，連結，設交于，連結，，

在菱形中，，

∵平面，平面，∴，

又，，平面，∴平面，

∵，分別是，的中點，∴，，

又，，∴，且，

∴四邊形是平行四邊形，則，∴平面，

又平面，∴平面平面.

（2）由（1）中證明知，平面，則，，兩兩垂直，以，

，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

由及是菱形，

得，，，則，

，，，

，，，

設平面的一個法向量為，

則，即，

取，求得，所以，

同理，可求得平面的一個法向量為，

設平面與平面構成的二面角的平面角為，則

，又，，

∴，

∴平面與平面構成的二面角的正弦值為.