Question

【題目】已知拋物線上一點到其焦點下的距離為10.

（1）求拋物線C的方程；

（2）設過焦點F的的直線與拋物線C交于兩點，且拋物線在兩點處的切線分別交x軸于兩點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由拋物線的定義，可得到，即可求出，從而得到拋物線的方程；（Ⅱ）直線的斜率一定存在，可設斜率為，直線為，設，，由可得，，，然后對求導，可得到的斜率及方程表達式，進而可表示出，同理可得到的表達式，然后對化簡可求出范圍。

解：（Ⅰ）已知到焦點的距離為10，則點到準線的距離為10.

∵拋物線的準線為，∴，

解得，∴拋物線的方程為.

（Ⅱ）由已知可判斷直線的斜率存在，設斜率為，因為，則：.

設，，由消去得，，

∴，.

由于拋物線也是函數的圖象，且，則：.

令，解得，∴，從而.

同理可得，，

∴ .

∵，∴的取值范圍為.