Question

【題目】已知函數

（1）當時，證明：；

（2）若在上有且只有一個零點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

(1) 將的值代入，再求出函數的最小值，即可證明；

(2)對進行分類討論，當可得函數有無數個零點，求導數，確定為負故符合題意，當時，求導函數，對導數再求一次導，再對進行分類討論，同時利用奇偶性可得當時在上有且只有一個零點，當時，利用零點定理取一個特值，判斷出不合題意，得出的取值范圍.

（1）當時，，

所以的定義域為R,且故為偶函數．

當時,，

記，所以．

因為，所以在上單調遞增，

即在上單調遞增，

故，

所以在上單調遞增，所以，

因為為偶函數,所以當時,.

（2）①當時，，令，解得，

所以函數有無數個零點，不符合題意；

②當時，，當且僅當時等號成立，故符合題意；

③因為，所以是偶函數，

又因為，故是的零點.

當時，，記，則.

1）當時，，

故在單調遞增，故當時，即，

故在單調遞增，故

所以在沒有零點.

因為是偶函數,所以在上有且只有一個零點.

2）當時，當時，存在，使得，且當時，單調遞減，故，

即時，，故在單調遞減，，

又，所以，

由零點存在性定理知在上有零點，又因為是的零點，

故不符合題意；

綜上所述，a的取值范圍為