Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，曲線C：經過伸縮變換后所得曲線記為.以O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系Ox.

（Ⅰ）求曲線的極坐標方程；

（Ⅱ）已知A，B是曲線上任意兩點，且，求證：O到直線AB的距離為常數.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）由已知，得，代入曲線，即可得到曲線的直角坐標方程，結合，，可得曲線的極坐標方程；

（Ⅱ）由已知，不妨設，，，，，由（Ⅰ）知，，到直線的距離，代入即可證明到直線的距離為常數．

解：（Ⅰ）由已知，得，

代入C：得，

即曲線的直角坐標方程為：.

又，故極坐標方程為，

化簡得：極坐標方程為.

（Ⅱ）由已知，不妨設，

由（Ⅰ）知：，故，

O到直線AB的距離，

，

所以，故O到直線AB的距離為常數.