Question

【題目】已知、是橢圓上不同的兩點，的中點坐標為．

（1）證明：直線經過橢圓的右焦點．

（2）設直線不經過點且與橢圓相交于，兩點，若直線與直線的斜率的和為1，試判斷直線是否經過定點，若經過定點，請求出該定點；若不經過定點，請給出理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）過定點；.

【解析】

（1）根據已知用點差法求出直線的斜率，即可證明結論；

（2）先考慮直線斜率存在情況，設直線的方程為，直線要過定點，只需求出為定值或確定關系，聯立直線方程與橢圓方程，根據根與系數關系以及直線與直線的斜率的和為1，可得關系，得出定點，再求出直線斜率不存在時方程即可.

（1）由題知，，設，，

的中點坐標為，所以，

由，兩式相減，

得，

又因為，所以直線經過橢圓的右焦點．

（2）當直線斜率存在時，設直線的方程為，

由得，

設，，

所以，，

又因為，所以，

即，

所以，化簡得，

所以，又因為，所以，

所以直線的方程為，

經檢驗，符合題意，所以直線過定點，

又當直線斜率不存在時，直線的方程為，

，又因為，

解得，也過點．

綜上知，直線過定點．