Question

（2013•徐匯區一模）（理）函數f（x）=min{2

x

，|x-2|}，其中min{a，b}=

a，a≤b b，a＞b

，若動直線y=m與函數y=f（x）f（x）的圖象有三個不同的交點，它們的橫坐標分別為x₁，x₂，x₃，則x₁•x₂•x₃是否存在最大值？若存在，在橫線處填寫其最大值；若不存在，直接填寫“不存在”

1

．

Answer 1

分析：由f（x）表達式作出函數f（x）的圖象，由圖象可求得符合條件的m的取值范圍，不妨設0＜x₁＜x₂＜2＜x₃，通過解方程可用m把x₁，x₂，x₃分別表示出來，利用基本不等式即可求得x₁•x₂•x₃的最大值．

解答：解：作出函數f（x）的圖象如下圖所示：

由

y=2 x y=|x-2|

解得A（4-2

3

，2

3

-2），
由圖象可得，當直線y=m與f（x）圖象有三個交點時m的范圍為：0＜m＜2

3

-2．
不妨設0＜x₁＜x₂＜2＜x₃，
則由2

x1

=m得x₁=

m2

4

，由|x₂-2|=2-x₂=m，得x₂=2-m，由|x₃-2|=x₃-2=m，得x₃=m+2，
且2-m＞0，m+2＞0，
所以x₁•x₂•x₃=

m2

4

×（2-m）×（2+m）=

1

4

•m²•（4-m²）≤

1

4

•[

m2+(4-m2)

2

]2=1，
當且僅當m²=4-m²即m=

2

時取得等號，
所以x₁•x₂•x₃存在最大值為1．
故答案為：1．

點評：本題考查函數與方程的綜合運用，考查基本不等式在求函數最值中的應用，考查數形結合思想，考查學生綜合運用知識分析解決新問題的能力，難度較大．