Question

【題目】在等比數列中，已知，.設數列的前n項和為，且，（，）.

（1）求數列的通項公式；

（2）證明：數列是等差數列；

（3）是否存在等差數列，使得對任意，都有？若存在，求出所有符合題意的等差數列；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）存在唯一的等差數列，其通項公式為，滿足題設

【解析】

（1）由，可得公比，即得；（2）由（1）和可得數列的遞推公式，即可知結果為常數，即得證；（3）由（2）可得數列的通項公式，，設出等差數列，再根據不等關系來算出的首項和公差即可.

（1）設等比數列的公比為q，因為，，所以，解得.

所以數列的通項公式為：.

（2）由（1）得，當，時，可得①，

②

②①得，，

則有，即，，.

因為，由①得，，所以，

所以，.

所以數列是以為首項，1為公差的等差數列.

（3）由（2）得，所以，.

假設存在等差數列，其通項，

使得對任意，都有，

即對任意，都有.③

首先證明滿足③的.若不然，，則，或.

（i）若，則當，時，，

這與矛盾.

（ii）若，則當，時，.

而，，所以.

故，這與矛盾.所以.

其次證明：當時，.

因為，所以在上單調遞增，

所以，當時，.

所以當，時，.

再次證明.

（iii）若時，則當，，，，這與③矛盾.

（iv）若時，同（i）可得矛盾.所以.

當時，因為，，

所以對任意，都有.所以，.

綜上，存在唯一的等差數列，其通項公式為，滿足題設.