Question

在正項等比數列{a_n}中，a₁=4，a₃=64．
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）記b_n=log₄a_n，求數列{b_n}的前n項和S_n；
（3）記y=-λ²+4λ-m，對于（2）中的S_n，不等式y≤S_n對一切正整數n及任意實數λ恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由a₁=4，a₃=64可求公比，根據等比數列的通項公式可得數列{an}的通項公式；
（2）由于b_n=log₄a_n=n，所以數列{b_n}是首項b₁=1，公差d=1的等差數列，故可求和；
（3）先求得S_n取得最小值S_min=1，要使對一切正整數n及任意實數λ有y≤S_n恒成立，即-λ²+4λ-m≤1，分離參數得m≥-λ²+4λ-1恒成立，故可求參數的范圍．

解答：解：（1）∵q2=

a3

a1

=16，解得q=4或q=-4（舍去）∴q=4…（2分）∴a_n=a₁q^n-1=4×4^n-1=4ⁿ…（3分）  （q=-4沒有舍去的得2分）
（2）∵b_n=log₄a_n=n，…（5分）∴數列{b_n}是首項b₁=1，公差d=1的等差數列∴Sn=

n(n+1)

2

…（7分）
（3）由（2）知，Sn=

n2+n

2

，
當n=1時，S_n取得最小值S_min=1…（8分）
要使對一切正整數n及任意實數λ有y≤S_n恒成立，即-λ²+4λ-m≤1
即對任意實數λ，m≥-λ²+4λ-1恒成立，∵-λ²+4λ-1=-（λ-2）²+3≤3，
所以m≥3，
故m得取值范圍是[3，+∞）．…（10分）

點評：本題主要考查等比數列的通項，等差數列的前n和，同時考查等價轉化的數學思想，屬于中檔題