Question

【題目】已知函數.

（1）若，求不等式的解集；

（2）若關于的不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）m≥3或m≤﹣1.

【解析】

（1）利用零點分段法進行求解，即可得答案；

（2）由題意可得|x﹣m|+2|x﹣1|≥2恒成立，設g（x）＝|x﹣m|+2|x﹣1|，由題意可得只需g（x）min≥2，運用絕對值不等式的性質和絕對值的性質，以及絕對值不等式的解法，可得所求范圍．.

（1）若，不等式①

當時，不等式①等價于，∴；

當時，不等式①等價于，∴；

當時，不等式①等價于，∴；

綜上所述，不等式的解集為.

（2）關于x的不等式|x﹣1|≥1恒成立，即為|x﹣m|+2|x﹣1|≥2恒成立，

設g（x）＝|x﹣m|+2|x﹣1|，由題意可得只需g（x）min≥2，

而g（x）＝|x﹣m|+|x﹣1|+|x﹣1|≥|x﹣m﹣x+1|+0＝|1﹣m|，當且僅當x＝1取得等號，

則g（x）的最小值為|1﹣m|，

由|1﹣m|≥2，

解得m≥3或m≤﹣1．