Question

如圖，在底面是菱形的四棱錐P—ABCＤ中，∠ABC=，PA=AC=a，PB=PD=,點E在PD上，且PE:ED=2:1．

（I）證明PA⊥平面ABCD；

（II）在棱PC上是否存在一點F，使BF//平面AEC？證明你的結論．

Answer 1

（Ⅰ）證明  因為底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，

所以AB=AD=AC=a，  在△PAB中，

       由PA2+AB2=2a2=PB2   知PA⊥AB．

       同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD．

（Ⅱ） 當F是棱PC的中點時，BF//平面AEC，證明如下，

  取PE的中點M，連結FM，則FM//CE． ①

由   知E是MD的中點．

連結FD，設FDEC=N，則N為FD的中點．

連結BD，設BDAC=O，則O為BD的中點．

所以  BF//ON． ②

又  BF平面BFM，BF平面AEC,所以BF//平面AEC．