Question

已知函數y=log₂[（p-1）x²+2px+3p-2]
（1）若函數的定義域為R，求實數p的取值范圍，
（2）若函數的值域為R，求實數p的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數的定義域為R等價于真數大于0恒成立；解二次型不等式恒成立結合二次函數的圖象通過對二次項系數及判別式分類討論求出p的范圍．
（2）將函數的值域為R轉化為真數能取所有的正實數，通過對二次項系數的討論及判別式，求出a的范圍．

解答：解：（1）∵函數的定義域為R
∴（p-1）x²+2px+3p-2＞0①p=1時，f（x）=log₂（2x+1）不合題意，舍去（2分）
②

p＞1 △＜0

⇒

p＞1 p＞2或 p＜ 1 2

⇒p＞2．（5分）
③若p＜1，不合題意，舍去（6分）
綜上：p的取值范圍是（2，+∞）（7分）
（2）
①p=1時，f（x）=log₂（2x+1）∈R符合題意（9分）
②

p＞1 △≥0

⇒

p＞1 1 2 ≤ p≤2

⇒1＜p≤2．（12分）
③若p＜1，不合題意，舍去（13分）
綜上：p的取值范圍是[1，2]（14分）

點評：本題考查對數函數的定義域為R與值域為R的區別；
解決二次函數問題常畫出二次函數的圖象結合圖象寫出需滿足的條件．