Question

【題目】已知函數(shù) .

（1）當時，求函數(shù)在點處的切線方程.

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：

（1）函數(shù)的定義域，當時，計算可得：，，則切線方程為.

（2），考查二次函數(shù)，分類討論：

①若，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

②若，為開口向上的二次函數(shù)，兩個零點均在定義域上.則：

（i）若，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（ii）若，在上單調(diào)遞增.

（iii）若，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

試題解析：

（1）函數(shù)的定義域，

當時，，，

，∴切線方程為.

（2），

易知，令，

①若，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

②若，為開口向上的二次函數(shù)，零點分別為0，，其中，

即的兩個零點均在定義域上.

（i）若，，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（ii）若，，圖象恒在軸上方，恒成立，∴在上單調(diào)遞增.

（iii）若，，∴函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.