Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，平面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB =2BC，點Q為AE的中點.

（1）求證：AC//平面DQF；

（2）若∠ABC=60°，AC⊥FB，求BC與平面DQF所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）連接交于點，連接，通過證明，證得平面.

（2）建立空間直角坐標系，利用直線的方向向量和平面的法向量，計算出線面角的正弦值.

（1）證明：連接交于點，連接，因為四邊形為正方形，所以點為的中點，又因為為的中點，所以；

平面平面，

平面.

（2）解：，設，則，在中，，由余弦定理得：，

．

又，平面．．

平面．

如圖建立的空間直角坐標系．

在等腰梯形中，可得．

則．

那么

設平面的法向量為，

則有，即，取，得．

設與平面所成的角為，則．

所以與平面所成角的正弦值為．