Question

【題目】如圖所示，在直角坐標系中，點到拋物線的準線的距離為.點是上的定點，，是上的兩動點，且線段的中點在直線上.

（Ⅰ）求曲線的方程及的值；

（Ⅱ）記，求的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），.（Ⅱ）.

【解析】分析：（Ⅰ）由拋物線準線方程及P到準線的距離，可求得，進而求得拋物線方程，將點M的坐標代入拋物線 ，即可求得t.

（Ⅱ）求直線OM方程，點Q在直線OM上，根據直線方程表示點Q坐標，消去參數n，

利用點差法表示出直線AB斜率，進而求出直線方程，將直線AB方程與拋物線方程聯立，用弦長公式求弦長，從而將d表示為關于m的函數，根據m范圍求最值.

詳解：（1）的準線為，∴，∴，

∴拋物線的方程為.又點在曲線上，∴.

（2）由（1）知，點，從而，即點，

依題意，直線的斜率存在，且不為，

設直線的斜率為.且，，

由得，故，

所以直線的方程為，即.

由消去，整理得，

所以，，.

從而.

∴，

當且僅當，即時，上式等號成立，

又滿足.∴的最大值為.