Question

【題目】如圖所示，在棱長為4的正方體中，點M是正方體表面上一動點，則下列說法正確的個數為（ ）

①若點M在平面ABCD內運動時總滿足，則點M在平面ABCD內的軌跡是圓的一部分；

②在平面ABCD內作邊長為1的小正方形EFGA，點M滿足在平面ABCD內運動，且到平面的距離等于到點F的距離，則M在平面ABCD內的軌跡是拋物線的一部分；

③已知點N是棱CD的中點，若點M在平面ABCD內運動，且平面，則點M在平面內的軌跡是線段；

④已知點P、Q分別是，的中點，點M為正方體表面上一點，若MP與CQ垂直，則點M所構成的軌跡的周長為.

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】D

【解析】

對于①，結合圓錐的性質，可判斷其正確；對于②，結合拋物線的定義，可知其正確；對于③，取AB的中點I，BC的中點O，易證平面平面，可知當M在線段IO上時，滿足題意；對于④，只需過點P作直線CQ的垂面即可，垂面與正方體表面的交線即為動點M的軌跡，求出周長，即可判斷④正確.

對于①，因為滿足條件的動點M是以為軸線，以為母線的圓錐與平面ABCD的交線，即圓的一部分，故①是正確的；

對于②，依題意知點M到點F的距離與到直線AB的距離相等，所以M的軌跡是以F為焦點，AB為準線的拋物線，故②是正確的；

對于③，如圖（1），取AB的中點I，BC的中點O，顯然，，從而可以證明平面平面，當M在線段IO上時，均有平面，即動點M的軌跡是線段IO，故③是正確的；

對于④，如圖（2），依題意，只需過點P作直線CQ的垂面即可，垂面與正方體表面的交線即為動點M的軌跡．分別取，的中點R，S，由，知，易知，又，，所以平面ABRS，過P作平面ABRS的平行平面，點M的軌跡為四邊形，其周長與四邊形ABRS的周長相等，所以點M所構成的軌跡的周長為，故④是正確的．

因此說法正確的有4個.

故選：D．