Question

【題目】已知數列{an}的前項n和為Sn ， 且3Sn=4an﹣4．又數列{bn}滿足bn=log2a1+log2a2+…+log2an ．
（1）求數列{an}、{bn}的通項公式；
（2）若 ，求使得不等式 恒成立的實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由3Sn=4an﹣4可得a1=4，

∵3Sn=4an﹣4，∴3Sn﹣1=4an﹣1﹣4，∴3Sn﹣3Sn﹣1=4an﹣4﹣（4an﹣1﹣4），

∴3an=4an﹣4an﹣1，即 ．

∴數列{an}是首項為a1=4，公比為4的等比數列，∴ ．

又bn=log2a1+log2a2+…+log2an=2+4+…+2（n﹣1）+2n=n（n+1），

∴bn=n（n+1）

（2）解： =1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ = ，

不等式 恒成立，即k≥ 恒成立，

設dn= ，則dn+1﹣dn= ，

∴當n≥2時，數列{dn}單調遞減，當1≤n＜2時，數列{dn}單調遞增；

即d1＜d2＞d3＞d4＞…，

∴數列最大項為 ，∴

【解析】（1）利用再寫一式，兩式相減的方法求數列{an}的通項公式、利用數列{bn}滿足bn=log2a1+log2a2+…+log2an ， 求出{bn}的通項公式；（2）若 ，裂項求和，不等式 恒成立，即k≥ 恒成立，即可實數k的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和的相關知識點，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能正確解答此題．