Question

【題目】如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=2，D，E，F分別是B1A1 ， CC1 ， BC的中點，AE⊥A1B1 ， D為棱A1B1上的點．

（1）證明：DF⊥AE；
（2）求平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，

∴AB⊥AE，又∵AB⊥AA1，AE∩AA1=A，

∴AB⊥面A1ACC1，又∵AC面A1ACC1，

∴AB⊥AC，

以A為原點，分別以AB，AC，AA1所在直線為x，y，z軸，

建立空間直角坐標系，

則A（0，0，0），E（0，2，1），F（1，1，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），

設D（x，y，z）， =λ ，且λ∈[0，1]，

即（x，y，z﹣2）=λ（2，0，0），∴D（2λ，0，2），

∴ =（1﹣2λ，1，﹣2）， =（0，2，1），

∵ =0+2﹣2=0，

∴DF⊥AE

（2）解： D（1，0，2），E（0，2，1），F（1，1，1），

=（﹣1，2，﹣1）， =（0，1，﹣1），

設平面DEF的法向量 =（x，y，z），

則 ，取y=1，得 =（1，1，1），

平面ABC的法向量 =（0，0，1），

cos＜ ＞= = ．

∴平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為 ．

【解析】（1）推導出AB⊥AE，AB⊥AA1 ， 從而AB⊥面A1ACC1 ， 由此能證明AB⊥AC，以A為原點，分別以AB，AC，AA1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明DF⊥AE．（2）求出平面DEF的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識，掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點．