Question

【題目】已知定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且.

（1）求函數(shù)，的解析式；

（2）設(shè)函數(shù)，記 .探究是否存在正整數(shù)，使得對(duì)任意的，不等式恒成立？若存在，求出所有滿足條件的正整數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1)已知，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得，解方程組即可得函數(shù)解析式；（2）由函數(shù)奇偶性的性質(zhì)可知為奇函數(shù)，圖象關(guān)于對(duì)稱，則的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，利用對(duì)稱性可得，然后利用恒成立問題解即可.

（1），

函數(shù)為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，

，

，.

（2）易知為奇函數(shù)，其函數(shù)圖象關(guān)于中心對(duì)稱，

函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，

即對(duì)任意的，成立.

，

.

兩式相加，得

.

即.

.

，即.

.

，

恒成立.

令，.

則在上單調(diào)遞增.

在上單調(diào)遞增.

.

又已知，.