Question

【題目】已知f（x）= （ax﹣a﹣x）（a＞0且a≠1）．
（1）判斷f（x）的奇偶性．
（2）討論f（x）的單調性．
（3）當x∈[﹣1，1]時，f（x）≥b恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）= ，

所以f（x）定義域為R，

又f（﹣x）= （a﹣x﹣ax）=﹣ （ax﹣a﹣x）=﹣f（x），

所以函數f（x）為奇函數

（2）解：任取x1＜x2

則f（x2）﹣f（x1）= （ax2﹣ax1）（1+a﹣（x1+x2））

∵x1＜x2，且a＞0且a≠1，1+a﹣（x1+x2）＞0

①當a＞1時，a2﹣1＞0，ax2﹣ax1＞0，則有f（x2）﹣f（x1）＞0，

②當0＜a＜1時，a2﹣1＜0．，ax2﹣ax1＜0，則有f（x2）﹣f（x1）＞0，

所以f（x）為增函數

（3）解：當x∈[﹣1，1]時，f（x）≥b恒成立，

即b小于等于f（x）的最小值，

由（2）知當x=﹣1時，f（x）取得最小值，最小值為 （ ）=﹣1，

∴b≤﹣1．

求b的取值范圍（﹣∞，﹣1]

【解析】（1）由函數的解析式可求函數的定義域，先證奇偶性：代入可得f（﹣x）=﹣f（x），從而可得函數為奇函數；（2）再證單調性：利用定義任取x1＜x2 ， 利用作差比較f（x1）﹣f（x2）的正負，從而確當f（x1）與f（x2）的大小，進而判斷函數的單調性；（3）對一切x∈[﹣1，1]恒成立，轉化為b小于等于f（x）的最小值，利用（2）的結論求其最小值，從而建立不等關系解之即可．