Question

已知拋物線x²=y+1上一定點A（-1，0）和兩動點P，Q當PA⊥PQ時，點Q的橫坐標的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：設P（a，b）  Q（x，y） 進而可表示出

AP

，

PQ

，根據PA⊥PQ得（a+1）（x-a）+（b-1）（y-b）=0，把P，Q代入拋物線方程，整理可得a²+（x-1）a+1-x=0根據方程有解，使判別式大于0，求得x的范圍．

解答：解：設P（a，b）  Q（x，y）   則

AP

=（a+1，b）

PQ

=（x-a，y-b）
由垂直關系得（a+1）（x-a）+b（y-b）=0
又P、Q在拋物線上即a²=b+1，x²=y+1，
故（a+1）（x-a）+（a²-1）（x²-a²）=0
整理得（a+1）（x-a）[1+（a-1）（x+a）]=0
而P和Q和A三點不重合即a≠-1   x≠a
所以式子可化為1+（a-1）（x+a）=0
整理得 a²+（x-1）a+1-x=0
由題意可知，此關于a的方程有實數解  即判別式△≥0
得（x-1）²-4（1-x）≥0解得x≤-3或x≥1
故答案為（-∞，-3]∪[1，+∞）

點評：本題主要考查拋物線的應用和不等式的綜合運用．考查了學生綜合運用所學知識和運算能力．