Question

（本小題滿分12分）
已知數列{a_n}的各項均為正數，S_n為其前n項和；且S_n = 2 a_n -2（n∈N*）；

（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列{b_n}的前n項和為T_n，且b_n= （n∈N*）；求證：對于任意的正整數n，總有T_n ＜2；
（3）在正數數列{c_n}中，設 (c_n) ⁿ⁺¹ = a_n+1（n∈N*）；求數列{c_n}中的最大項。

Answer 1

（本小題滿分12分）解：
（1）因為S_n=2a_n-2（n∈N^*），所以S_n-1=2a_n-1-2（n≥2，n∈N^*）。二式相減得：a_n=2 a_n-2a_n-1（n≥2，n∈N^*），因為a_n≠0，所以=2（n≥2，n∈N^*），即數列{ a_n}是等比數列，又因為a₁=S₁，所以a₁=2 a₁-2，即a₁=2，所以a_n=2ⁿ（n∈N^*）（4分）
（2）證明：對于任意的正整數n，總有b_n==，所以當n≥2時，T_n=++……+≤1+++……+=1+1-+-+……+-=2-＜2；當n=1時，T₁=1＜2仍成立；所以，對于任意的正整數n，總有T_n ＜2。（8分）
（3）解：由(c_n)ⁿ⁺¹=a_n+1=n+1（n∈N^*）知：lnc_n=。令f（x）=，則f′（x）=，因為在區間（0，e）上，f′（x）＞0，在區間（e，+∞）上，f′（x）＜0，所以在區間（e，+∞）上f（x）為單調遞減函數，所以n≥3且n∈N^*時，{lnc_n}是遞減數列，又lnc₁＜ lnc₂， lnc₃＜ lnc₂，所以，數列{lnc_n}中的最大項為lnc₂=ln3，所以{c_n}中的最大項為c₂=。（12分）