【題目】已知函數
.
（1）若函數
有零點，求
的取值范圍；
（2）若對任意的
，都有
，求
的取值范圍.
【答案】（1）
的取值范圍為
；（2）實數
的取值范圍
.
【解析】試題分析：（1）將函數
有零點的問題轉化為方程
有解的問題處理。令
，則化為關于
的方程
有正根的問題，設
，根據拋物線的開口方向及對稱軸求解。（2）由題意可得
恒成立。分兩種情況：當
時，不等式為
，此時實數
. 當
時，分析得
，求得
的最大值和
的最小值可得
。
試題解析：
（1）由函數
有零點得：關于
的方程
有解.
令
，則
，于是有關于
的方程
有正根.
設
，則函數
的圖象恒過點
且對稱軸為
.
①當
時， 
的圖象開口向下，
故
恰有一正數解；
②當
時， 
，不合題意；
③當
時， 
的圖象開口向上，故要使
有正數解，
需使
，
解得
.
綜上可知實數
的取值范圍為
.
（2）由
恒成立得
恒成立.
∵
，
∴
恒成立。
當
時，不等式為
，此時實數
.
當
時，則有
，
所以
， 
故由不等式
可得
∵
，
∴
，
則
， 
∴
綜上可得實數
的取值范圍
.
名師指導期末沖刺卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】(2017·全國卷Ⅲ文，18)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表：
最高氣溫 | [10,15) | [15,20) | [20,25) | [25,30) | [30,35) | [35,40) |
天數 | 2 | 16 | 36 | 25 | 7 | 4 |
以最高氣溫位于各區間的頻率估計最高氣溫位于該區間的概率．
(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；
(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)．當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某企業為了更好地了解設備改造前后與生產合格品的關系，隨機抽取了180件產品進行分析，其中設備改造前的合格品有36件，不合格品有49件，設備改造后生產的合格品有65件，不合格品有30件.根據所給數據：
⑴寫出
列聯表；⑵判斷產品是否合格與設備改造是否有關，說明理由.
附： 
，
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系，將曲線
上的每一個點的橫坐標保持不變，縱坐標縮短為原來的
，得到曲線
，以坐標原點
為極點， 
軸的正半軸為極軸，建立極坐標系， 
的極坐標方程為
．
（Ⅰ）求曲線
的參數方程；
（Ⅱ）過原點
且關于
軸對稱的兩條直線
與
分別交曲線
于
、
和
、
，且點
在第一象限，當四邊形
的周長最大時，求直線
的普通方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為調查高中生的數學成績與學生自主學習時間之間的相關關系.某重點高中數學教師對高三年級的50名學生進行了跟蹤調查，其中每周自主做數學題的時間不少于15小時的有22人，余下的人中，在高三年級模擬考試中數學平均成績不足120分鐘的占
，統計成績后，得到如下
的列聯表：
分數大于等于120分鐘 | 分數不足120分 | 合計 | |
周做題時間不少于15小時 | 4 | 22 | |
周做題時間不足15小時 | |||
合計 | 50 |
（Ⅰ）請完成上面的列聯表，并判斷能否有99%以上的把握認為“高中生的數學成績與學生自主學習時間有關”；
（Ⅱ）（ⅰ）按照分層抽樣，在上述樣本中，從分數大于等于120分和分數不足120分的兩組學生中抽取9名學生，設抽到的不足120分且周做題時間不足15小時的人數是
，求的分布列（概率用組合數算式表示）；
（ii） 若將頻率視為概率，從全校大于等于120分的學生中隨機抽取人，求這些人中周做題時間不少于15小時的人數的期望和方差.
附：
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
，直線
是函數
圖象的一條對稱軸.
(1)求
的值，并求
的解析式；
(2)若關于
的方程
在區間
上有且只有一個實數解，求實數
的取值范圍；
(3)已知函數
的圖象是由
圖象上的所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，然后再向左平移
個單位得到，若
， 
，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
．
(1)若函數
在
處取得極值，求實數
的值；
(2)若函數
)在區間
上為增函數，求實數
的取值范圍；
(3)若當
時，方程
有實數根，求實數
的最大值．
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