Question

【題目】若無窮數列滿足：，且對任意，(s，k，l，)都有，則稱數列為“T”數列.

（1）證明：正項無窮等差數列是“T”數列；

（2）記正項等比數列的前n項之和為，若數列是“T”數列，求數列公比的取值范圍；

（3）若數列是“T”數列，且數列的前n項之和滿足，求證：數列是等差數列.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析.（2）.（3）答案見解析

【解析】

（1），根據題意得到，得到證明.

（2）討論，，三種情況，時，計算，時，計算，得到答案.

（3）計算得到，根據題意得到，利用退項相減得到，得到證明.

（1），

因為正項無窮等差數列，所以，且，所以，

所以正項無窮等差數列是“T”數列.

（2）1°時成立，所以；

2°時，

因為，所以，又因為，所以，

所以，

所以，所以.

3°時，

，

因為，所以，又因為，所以，

所以

，

所以舍去，

綜上：

（3），，

所以，

數列是“T”數列，故，，…，，

所以，所以，又因為，所以，

即，，相減得到，

故，相減得到，故數列是等差數列.