Question

【題目】對于正整數，如果個整數滿足，

且，則稱數組為的一個“正整數分拆”.記均為偶數的“正整數分拆”的個數為均為奇數的“正整數分拆”的個數為.

(Ⅰ)寫出整數4的所有“正整數分拆”;

(Ⅱ)對于給定的整數，設是的一個“正整數分拆”，且，求的最大值;

(Ⅲ)對所有的正整數，證明:;并求出使得等號成立的的值.

(注:對于的兩個“正整數分拆”與，當且僅當且時，稱這兩個“正整數分拆”是相同的.)

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ，，，，；(Ⅱ) 為偶數時，，為奇數時，；(Ⅲ)證明見解析，，

【解析】

(Ⅰ)根據題意直接寫出答案.

(Ⅱ)討論當為偶數時，最大為，當為奇數時，最大為，得到答案.

(Ⅲ) 討論當為奇數時，，至少存在一個全為1的拆分，故，當為偶數時，

根據對應關系得到，再計算，，得到答案.

(Ⅰ)整數4的所有“正整數分拆”為：，，，，.

(Ⅱ)當為偶數時，時，最大為；

當為奇數時，時，最大為；

綜上所述：為偶數，最大為，為奇數時，最大為.

(Ⅲ)當為奇數時，，至少存在一個全為1的拆分，故；

當為偶數時，設是每個數均為偶數的“正整數分拆”，

則它至少對應了和的均為奇數的“正整數分拆”，

故.

綜上所述：.

當時，偶數“正整數分拆”為，奇數“正整數分拆”為，；

當時，偶數“正整數分拆”為，，奇數“正整數分拆”為，

故；

當時，對于偶數“正整數分拆”，除了各項不全為的奇數拆分外，至少多出一項各項均為的“正整數分拆”，故.

綜上所述：使成立的為：或.