Question

2010年上海世博會大力倡導綠色出行，并提出在世博園區參觀時可以通過植樹的方式來抵消因出行產生的碳排放量．某游客非常支持這一方案，計劃在游園期間種植n棵樹，已知每棵樹是否成活互不影響，成活率為p（0＜p＜1），設ξ表示他所種植的樹中成活的棵數，ξ的數學期望為Eξ，方差為Dξ．
（1）若n=1，求Dξ的最大值；
（2）已知Eξ=3，標準差?ξ=，求n，p的值并寫出ξ的分布列．

Answer 1

解：（1）由題意知ξ表示他所種植的樹中成活的棵數，
當n=1，ξ=0，1，于是ξ的分布列為

∴Eξ=0×（1-p）+1×p=p．
∴Dξ=（0-p）²•（1-p）+（1-p）²•p=p-p²=
即當時，Dξ有最大值．
（2）每棵樹是否成活互不影響，成活率為p得到ξ～B（n，p），
∴Eξ=np，Dξ=npq=np（1-p），
∴np=3，，
∴，n=4．
∴（k=0，1，2，3，4），
∴ξ的分布列為

分析：（1）ξ表示他所種植的樹中成活的棵數，當n=1，ξ的可能取值是0，1，寫出ξ的分布列，根據分布列做出期望值，代入方差的公式求出方差，根據二次函數的最值求出結果．
（2）根據每棵樹是否成活互不影響，成活率為p得到ξ～B（n，p），根據Eξ=np，Dξ=npq=np（1-p），求出P的值，ξ表示他所種植的樹中成活的棵數，則變量的可能取值是0，1，2，3，4，根據獨立重復試驗概率公式寫出變量的分布列．
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列，考查n次獨立重復試驗恰好發生k次的實驗，考查二次函數的最值問題，考查利用概率知識解決實際問題，是一個綜合題目．